Question

10．函数y=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$的反函数是y=log₂$\frac{x+\sqrt{{x}^{2}+4}}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知中y=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$的解析，用y表示x，进而可得相应的反函数．

解答 解：令t=2^x，（t＞0），
则y=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$=t-$\frac{1}{t}$，即t²-yt-1=0，
则t=$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$，或t=$\frac{y-\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$（舍去），
即2^x=$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$，
∴x=log₂$\frac{y+\sqrt{{y}^{2}+4}}{2}$，
函数y=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$的反函数是y=log₂$\frac{x+\sqrt{{x}^{2}+4}}{2}$，
故答案为：y=log₂$\frac{x+\sqrt{{x}^{2}+4}}{2}$

点评 本题考查的知识点是反函数，熟练掌握反函数的求解步骤是解答的关键．