题目内容

判断函数f（x）=log_a $数学公式$ ，（0＜a＜1）的单调性并证明．

解：设g（x）= $\text{[math]}$ 解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1），则函数f（x）在定义域内是减函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，则 g（x₁）-g（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
再由-1＜x₁＜x₂＜1 可得 1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴ $\text{[math]}$ ＜0，故 g（x₁）＜g（x₂），g（x）在（-1，1）上是增函数．
再由0＜a＜1，可得log_ag（x₁）＞log_ag（x₂），故函数f（x）=log_a $\text{[math]}$ 在（-1，1）上是减函数．
分析：设g（x）= $\text{[math]}$ ，先求出函数的定义域为（-1，1），设-1＜x₁＜x₂＜1，由 g（x₁）-g（x₂）＜0，可得g（x）在（-1，1）上是增函数．再由0＜a＜1，可得函数f（x）在定义域内是减函数．
点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的单调性的定义，证明函数的单调性的方法，属于中档题．

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已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

已知函数f（x）=（1+x）ⁿ（x＞-1，n∈N^*）在点（0，1）处的切线L为y=g（x）
（Ⅰ）求切线L并判断函数f（x）在x∈（-1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）对任意的x∈（-1，+∞）都成立；
（Ⅲ）求证：已知m，n∈N^*，S_m=1^m+2^m+…+n^m，求证：n^m+1＜（m+1）S_m．

（2011•江西模拟）已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）给出如下定义：对于函数y=F（x）图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果对于函数y=F（x）图象上的点M（x₀，y₀）（其中x0=

)总能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x₀）（x₁-x₂）成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f（x）是不是具备性质“L”，并说明理由．

已知定义在R上的函数f(x)=2x+

，a为常数，若f （x）为偶函数．
（l）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明．

（2006•朝阳区二模）已知函数f（x）=x³-

mx2+n，1＜m＜2
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-2，求m、n的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数f（x）的导函数为g（x），函数F（x）=

•e2x，试判断函数F（x）的极值点个数，并求出相应实数m的范围．