Question

已知函数f（x）=（1+x）ⁿ（x＞-1，n∈N^*）在点（0，1）处的切线L为y=g（x）
（Ⅰ）求切线L并判断函数f（x）在x∈（-1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）对任意的x∈（-1，+∞）都成立；
（Ⅲ）求证：已知m，n∈N^*，S_m=1^m+2^m+…+n^m，求证：n^m+1＜（m+1）S_m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数可求得切线y=g（x）的斜率，利用直线的点斜式即可得到切线L的方程，由f′（x）＞0，可求得f（x）在x∈（-1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）构造函数h（x）=（1+x）ⁿ-nx-1，可求得h′（x）=n（x+1）^n-1-n=n[（x+1）^n-1-1]，可分①n=1与②n≥2两种情况讨论，即可证f（x）≥g（x）对任意的x∈（-1，+∞）都成立；
（Ⅲ）通过分析法：要证：n^m+1＜（m+1）（1^m+2^m+…+n^m），只需证：（1^m+1-0^m+1）+（2^m+1-1^m+1）+…+（n^m+1-（n-1）^m+1）＜（m+1）（1^m+2^m+…+n^m），
只需证：（n^m+1-（n-1）^m+1）＜（m+1）n^m，整理即可得证．

解答：解：（Ⅰ）f′（0）=n，所以：y-1=n（x-0）⇒g（x）=nx+1，f′（x）=n（1+x）^n-1，
∵x＞-1，
∴f′（x）＞0，所以f（x）在（-1，+∞）上单调递增；-（4分）
（Ⅱ）要证：（1+x）ⁿ≥1+nx（x＞-1，n∈N^*）有三条可能的路径：
（1）二项式定理展开比较法（不难得证）；
（2）数学归纳法（可参见选修4-5的贝努力不等式）
（3）构造新函数法：要证：（1+x）ⁿ≥1+nx（x＞-1，n∈N^*），
把n当成常数，把x当成变量，构造函数h（x）=（1+x）ⁿ-nx-1，
h′（x）=n（x+1）^n-1-n=n[（x+1）^n-1-1]--------------------------------（5分）
①n=1时，h（x）=0满足题意------------------------------------（6分）
②n≥2时，由（Ⅰ）知y=（x+1）^n-1在（-1，+∞）上单调递增，
h′（x）＞0?（x+1）^n-1＞1=（0+1）^n-1?x＞0
所以h（x）在（-1，0）上单调递减；（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥g（x）对任意的x∈（-1，+∞）都成立-------（8分）
构造左n项右n项
（Ⅲ）要证：n^m+1＜（m+1）（1^m+2^m+…+n^m），
只需证：（1^m+1-0^m+1）+（2^m+1-1^m+1）+…+（n^m+1-（n-1）^m+1）＜（m+1）（1^m+2^m+…+n^m），
只需证：（n^m+1-（n-1）^m+1）＜（m+1）n^m，
只需证：n-(1-

1

n

)m（n-1）＜m+1，只需证：n-m-1＜(1-

1

n

)m（n-1），
又(1-

1

n

)m（n-1）＞（1-

m

n

）（n-1）=n-1-m+

m

n

＞n-1-m成立，
所以n^m+1＜（m+1）（1^m+2^m+…+n^m）成立．-----------------------------------------------------（14分）

点评：本题考查综合法与分析法，考查利用导数研究曲线上某点切线方程及函数的单调性，突出考查分析法，考查构造函数思想与分类讨论思想、等价转化思想的综合应用，属于难题．