题目内容

（2011•江西模拟）已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的x0∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）给出如下定义：对于函数y=F（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果对于函数y=F（x）图象上的点M（x0，y0）（其中x0=
x1+x22
)总能使得F（x1）-F（x2）=F'（x0）（x1-x2）成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f（x）是不是具备性质“L”，并说明理由．
分析：（1）先求导函数g'（x）=e1-x1xe1-x=ex-1（1-x），从而可知函数在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，因此可求函数的值域．
（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，从而可得a∈(
1
e
，1)，又f(x)min=f(
1
a
)=2+lna≤0可得a≤
1
e2
，矛盾，因此满足条件的a不存在
（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于kAB，不妨设0＜x1＜x2，易得
lnx1-lnx2
x1-x2
=
2
x1+x2
即ln
x1
x2
=
2(x1-x2)
x1+x2
=
2(
x1
x2
-1)
x1
x2
+1
，令t=
x1
x2
∈(0，1)，则有lnt+
4
t+1
-2=0，令F（t）=lnt+
4
t+1
-2，则由F′(t)=
1
t
-
4
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)
＞0可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，从而方程lnt+
4
t+1
-2=0无解，故可得证．
解答：解：（1）∵g'（x）=e1-x1xe1-x=ex-1（1-x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e2-e函数g（x）在区间（0，e]上的值域为（0，1]…．（3分）
（2）令m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数                              …（5分）∵f′(x)=a-
1
x
(1≤x≤e)
当a≤0时，f′(x)=a-
1
x
＜0，在区间[1，e]上递减，不合题意
当a≥1时，f'（x）＞0，在区间[1，e]上单调递增，不合题意
当0＜a≤
1
e
时，f'（x）＜0，在区间[1，e]上单调递减，不合题意
当1＜
1
a
＜e即
1
e
＜a＜1时，在区间[1，
1
a
]上单调递减；在区间[
1
a
，e]上单递增，
由上可得a∈(
1
e
，1)，此时必有f（x）的最小值小于等于0且f（x）的最大值大于等于1，而由f(x)min=f(
1
a
)=2+lna≤0可得a≤
1
e2
，则a∈Φ
综上，满足条件的a不存在．…..（8分）
（3）设函数f（x）具备性质“L”，即在点M处地切线斜率等于kAB，不妨设0＜x1＜x2，则kAB=
y1-y2
x1-x2
=
a(x1-x2)-(lnx1-lnx2)
x1-x2
=a-
lnx1-lnx2
x1-x2
，而f（x）在点M处的切线斜率为f′(x0)=f′(
x1+x2
2
)=a-
2
x1+x2
，故有
lnx1-lnx2
x1-x2
=
2
x1+x2
…..（10分）
即ln
x1
x2
=
2(x1-x2)
x1+x2
=
2(
x1
x2
-1)
x1
x2
+1
，令t=
x1
x2
∈(0，1)，则上式化为lnt+
4
t+1
-2=0，
令F（t）=lnt+
4
t+1
-2，则由F′(t)=
1
t
-
4
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)
＞0可得F（t）在（0，1）上单调递增，故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+
4
t+1
-2=0无解，所以函数f（x）不具备性质“L”．…（14分）
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性，和求函数的最值问题，体现了分类讨论和数形结合以及题意的理解与转化的思想．特别是问题（2）的设置，考查了学生创造性分析解决问题的能力．
练习册系列答案
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3
bc，sinC=2
3
sinB，则A=（　　）
（2011•江西模拟）已知数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，且a1=b1=1，a2=b2，a4=b3≠b4．
①求数列{an}，{bn}的通项公式；
②设Sn为数列{an}的前n项和，求{
1
Sn
}的前n项和Tn；
③设Cn=
anbn
Sn+1
（n∈N），Rn=C1+C2+…+Cn，求Rn．
（2011•江西模拟）已知数列{an}满足an+1=
2an
an+2
（n∈N*），a2011=
1
2011
．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=
4
an
-4023且cn=
b
2
n+1
+
b
2
n
2bn+1bn
(n∈N*)，求证：c1+c2+…+cn＜n+1．
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π
2
-x)满足f(-
π
3
)=f(0)，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且
a2+c2-b2
a2+b2-c2
=
c
2a-c
，求f（x）在（0，B]上的值域．

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