Question

选修4-5《不等式选讲》．
已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：利用基本不等式求得 +的最小值等于9，由题意可得|2x-1|-|x+1|≤9，分x≤-1时，-1＜x＜ 时，x≥ 时，
三种情况分别求出不等式的解集，再取并集，即得结果．
解答：解：∵a+b=1，且 a＞0，b＞0，∴+=（a+b）（ + ）=5++≥5+2=9，
故 + 的最小值等于9． 要使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立，所以，|2x-1|-|x+1|≤9．
当 x≤-1时，2-x≤9，∴-7≤x≤-1．  当-1＜x＜ 时，-3x≤9，∴-1＜x＜．
当x≥ 时，x-2≤9，∴≤ x≤11．
综上，-7≤x≤11．
点评：本题考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．
关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．