Question

10．已知圆O：x²+y²=4和圆C：x²+y²-2x-y-2=0，记两圆的公共弦所在的直线为l．
（I）求直线l的方程．
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点为M，过点M任作一条直线与圆O相交于点A，B，是否存在x轴上的定点N，连接AN，BN，使得∠ANM=∠BNM，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用圆系方程，求出公共弦所在直线方程．
（Ⅱ）分类讨论，利用∠ANM=∠BNM，k_AN+k_BN=0，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）圆O与圆C两边相减得l：2x+y-2=0---------（3分）
（II）由题意得M（1，0），当AB⊥x轴时显然成立．
当AB不垂直于x轴时，设AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.⇒（1+{k^2}）{x^2}-2{k^2}x+{k^2}-4=0$
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}}}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}$--------------------（5分）
由题意得N点不是M点，所以直线AN，BN的斜率存在∠ANM=∠BNM?k_AN+k_BN=0---------------------（7分）
∴$\frac{y_1}{{{x_1}-n}}+\frac{y_2}{{{x_2}-n}}=0⇒k（\frac{{{x_1}-1}}{{{x_1}-n}}+\frac{{{x_1}-1}}{{{x_2}-n}}）=0$⇒k[2x₁x₂-（n+1）（x₁+x₂）+2n]=0
由韦达定理得k[2n-8]=0，所以n=4---------------------（9分）
所以点N存在为N（4，0）---------------------（10分）

点评 本题考查相交弦所在直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，是中档题．