Question

16．设f（x）=|x-a|+2x其中a＞0
（1）当a=2时，求解f（x）≥2x+1
（2）若f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

分析 （1）不等式即 f（x）=|x-2|+2x≥2x+1，由此求得它的解集．
（2）由题意可得|x-a|+2x≤0的解集为{x|x≤-1}，故|-1-a|-2=0，求得a的值，再检验，进一步确定a的值．

解答 解：（1）当a=2时，不等式 即 f（x）=|x-2|+2x≥2x+1，
∴x-2＞1，或x-2＜-1，求得x＞3，或x＜1，
故不等式的解集为{x|x＞3，或x＜1}．
（2）若f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，即|x-a|+2x≤0的解集为{x|x≤-1}，
∴|-1-a|-2=0，求a=1，或a=-3．
若a=1，不等式即|x-1|+2x≤0，即|x-1|≤-2x，∴2x≤x-1≤-2x，求得x≤-1，满足条件．
若a=-3，不等式即|x+3|+2x≤0，即|x+3|≤-2x，2x≤x+3≤-2x，求得x≤-1，满足条件．
综上可得，a=1，或a=-3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．