Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+1．
（1）求函数的定义域；
（2）若f（x）＞2^x，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由式子有意义可得2^x-1≠0，解不等式可得定义域为；
（2）原不等式可化为$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞2^x-1，整理可得$\frac{{2}^{x}（{2}^{x}-2）}{{2}^{x}-1}$＜0，可得1＜2^x＜2，由指数函数可得．

解答 解：（1）由式子有意义可得2^x-1≠0，解得x≠0，
∴已知函数的定义域为{x|x≠0}；
（2）∵f（x）＞2^x，∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+1＞2^x，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞2^x-1，即$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-（2^x-1）＞0，
通分可得$\frac{1-（{2}^{x}-1）^{2}}{{2}^{x}-1}$＞0即$\frac{{2}^{x}（{2}^{x}-2）}{{2}^{x}-1}$＜0，
解得1＜2^x＜2，解得0＜x＜1．

点评 本题考查分式不等式和指数不等式，涉及函数的定义域，属基础题．