Question

（2009•天门模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
（Ⅰ）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥EF于H，连BH，GH．由面面垂直性质定理，证出DH⊥平面EBCF，从而得到EG⊥DH．由正方形BGHE中，EG⊥BH且BH∩DH=H，可得EG⊥平面DBH，从而证出BD⊥EG；
（2）由面面垂直性质定理证出AE⊥面EBCF，结合（Ⅰ）知AE

∥

.

GH，可得V_F-BCD=

1

3

S△BFC•DH=

1

3

S△BFC•AE，因此f（x）=-

2

3

(x-2)2+

8

3

，利用二次函数的图象与性质可得当x=2时，即AE=2时函数有最大值为

8

3

．

解答：解：（Ⅰ）作DH⊥EF于H，连BH，GH
∵平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，DH⊥EF
∴DH⊥平面EBCF
∵EG?平面EBCF，∴EG⊥DH
又∵四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH
∵BH∩DH=H，∴EG⊥平面DBH
∵BD?平面DBH，∴EG⊥BD．
（Ⅱ）∵AE⊥EF，面AEFD⊥面EBCF，面AEFD∩面EBCF=EF
∴AE⊥面EBCF
由（Ⅰ）知DH⊥平面EBCF，可得AE

∥

.

GH
∴f（x）=V_A-BFC=

1

3

S△BFC•DH
=

1

3

S△BFC•AE=

1

3

•

1

2

•4•(4-x)x=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

因此，当且仅当x=2时，f（x）有最大值为

8

3

．

点评：本题给出平面图形的翻折问题，在所得几何体中证明线线垂直并求三棱锥体积的最大值，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质、锥体体积和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．