Question

13．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线x-y-1=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），求得直线与x，y轴的交点，可得b=c=1，由a，b，c 的关系可得a，进而得到椭圆方程；
（2）由直线方程代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，再由两点的距离公式计算可得所求值．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
直线x-y-1=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，
即有焦点为（1，0），一个顶点为（0，-1），
即为c=1，b=1，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
则椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直线x-y-1=0，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
可得3x²-4x=0，解得x=0或x=$\frac{4}{3}$，
可设A（0，-1），B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
则|AB|=$\sqrt{（0-\frac{4}{3}）^{2}+（-1-\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查直线和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于基础题．