题目内容

已知向量 $数学公式$ =（cosx，sinx）， $数学公式$ =（ $数学公式$ cosx，cosx），若f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ - $数学公式$ ．
（1）写出函数f（x）图象的一条对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， $数学公式$ ]上的值域．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ =（cosx，sinx）， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ cosx，cosx），
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos²x+sinxcosx= $\text{[math]}$ （1+cos2x）+ $\text{[math]}$ sin2x=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
由此可得f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =[sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]- $\text{[math]}$ =sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
∵令2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +kπ（k∈Z），得x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ kπ（k∈Z）
∴取k=0，得函数y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）图象的一条对称轴方程为x= $\text{[math]}$
即函数y=f（x）图象的一条对称轴方程为x= $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
∵x∈[0， $\text{[math]}$ ]，得2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）有最大值为1；
当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，即x= $\text{[math]}$ 时，f（x）有最小值为- $\text{[math]}$
因此，可得函数f（x）在区间[0， $\text{[math]}$ ]上的值域为[- $\text{[math]}$ ，1]．
分析：（1）根据向量的数量积的坐标运算公式，结合二倍角公式和辅助角公式化简整理得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），再根据正弦函数图象对称轴方程的公式，即可得到函数f（x）图象的一条对称轴方程；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），而x∈[0， $\text{[math]}$ ]时2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，结合正弦函数的图象与性质得到函数的最大值为f（ $\text{[math]}$ ）=1，最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．由此即可得出函数f（x）在区间[0， $\text{[math]}$ ]上的值域．
点评：本题以向量数量积为载体，求函数的值域和图象的对称轴方程．着重考查了向量数量积坐标运算公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．