Question

已知函数（，，为常数，）.
（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），
证明：；
（Ⅲ）若时，是奇函数，，数列满足，，
求证：.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）证明略
（Ⅲ）证明略

（Ⅰ）解：依条件有.
因为点在函数的图象上，所以.
因为，
所以是首项是，公差为的等差数列. …………… 1分
所以. 
即数列的前项和.……………………… 2分
（Ⅱ）证明：依条件有即解得
所以.   
所以   ……………………………… 3分
因为=
，
又，所以.
即.   ………………………………………… 5分
（Ⅲ）依条件.
因为为奇函数，所以.
即. 解得. 所以.
又，所以.
故.      …………………………………………………6分
因为，所以. 所以时，有（）.
又，
若，则. 从而. 这与矛盾.
所以.     …………………………………………………… 8分
所以.
所以.……………10分
所以

.    ……………12分
因为，，所以. 所以.
所以. …14分