Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形；

（2）曲线与两坐标轴的交点分别为、，点在曲线上运动，当曲线与曲线相切时，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）12.

【解析】

(1) 曲线化为普通方程，表示一条直线；曲线对a分类讨论明确轨迹的形态；

(2)先求出A，B的坐标，得到，利用圆的切线求出圆上点到直线的最大距离，即可得到结果.

（1）曲线化为普通方程为，是一条直线，

对于曲线：由及代入曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为，即为.

当，曲线是以为圆心，为半径的圆.

当，曲线表示一点.

当，曲线不存在.

（2）由（1）知曲线化为普通方程为，

令，；，，所以，，

又由题可知，曲线：，

由直线与圆相切可知，

解得，此时：，

所以，

所以面积的最大值为12.