题目内容

本题有（I）、（II）、（III）三个选作题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知a∈R，矩阵P=
02
-10
，Q=
01
a0
，若矩阵PQ对应的变换把直线l1：x-y+4=0变为直线l2：x+y+4=0，求实数a的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，求圆C：ρ=2上的点P到直线l：ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数x，y满足x2+4y2=a（a＞0），且x+y的最大值为5，求实数a的值．
分析：（1）先计算矩阵AB对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线l2的方程，最后与已知方程对照可得到a值．
（2）圆p=2、直线p（cosθ+
3
sinθ）=6化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再求圆p=2上的点到直线p（cosθ+
3
sinθ）=6的距离的最小值．
（3）可设出椭圆x2+4y2=a参数方程，转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值，从而得出a的值．
解答：解：（1）∵矩阵P=
02
-10
，Q=
01
a0
，
∴PQ=
2a0
0-1
…（3分），
在直线l1上任取一点P（x，y），经矩阵PQ变换为点Q（x′，y′），则
（x，y）
2a0
0-1
=（x′，y′），
即
x′=2ax
y′=-y
…（8分）
代入x+y+4=0中得2ax-y+4=0，
∴2a=1，a=
1
2
；
（2）圆p=2、直线p（cosθ+
3
sinθ）=6化为直角坐标方程，
分别为x2+y2=4，x+
3
y-6=0
圆心到直线的距离为：
|-6|
1+3
=3
所以圆p=2上的点到直线p（cosθ+
3
sinθ）=6的距离的最小值是3-2=1
（3）x2+4y2=a参数方程是
x=
a
cosθ
y=
a
2
sinθ
，θ∈R
则x+y=
a
cosθ+
a
2
sinθ=
5a
4
sin(θ+∅)，
∴x+y的最大值为
5a
4
=5，解得a=20．
点评：考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，点到直线的距离公式，简单曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查计算能力，是基础题．
练习册系列答案
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本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
12
34
．
①求矩阵A的逆矩阵B；
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x，求直线l的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a为参数），点Q极坐标为（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P、Q两点距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范围．
（II）设x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范围．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
7-6
4-3
，向量
ξ 
=
6
5
．
（I）求矩阵M的特征值λ1、λ2和特征向量
ξ
1和
ξ2
；
（II）求M6
ξ
的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
（3）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知：a、b、c∈R+，求证：a2+b2+c2≥
1
3
(a+b+c)2；    
（Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值．
精英家教网本题有（1），（2），（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（1）选修4-2：矩阵与变换
如图所示：△OAB在伸缩变换M作用下变为△OA1B1．
（i）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（ii）求逆矩阵M-1以及（M-1）20
（2）选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
（θ为参数），曲线C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
（t为参数）
（i）若将曲线C1与C2上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线C1和C2，求出曲线C1和C2的普通方程；
（ii）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C2垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+
b 2
4
+
c 2
9
+m-1=0
（i）求证：a2+
b 2
4
+
c 2
9
≥
(a+b+c) 2
14

（ii）求实数m的取值范围．

（本题满分14分）

定义在R上的单调函数满足，且对任意都有

（I）试求的值并证明函数为奇函数；

（II）若对任意恒成立，求实数m的取值范围。

 

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