Question

已知△ABC的顶点A、B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，AB∥l，∠ABC=90°．当斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer 1

分析：设AB所在直线的方程为y=x+m，与椭圆方程联立即可得到△＞0、根与系数的关系，进而得到弦长|AB|，利用平行线之间的距离公式可得|BC|的长，再利用勾股定理可得|AC|²=|AB|²+|BC|²，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：设AB所在直线的方程为y=x+m，
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0． 
∵A、B在椭圆上，∴△=-12m²+64＞0．    
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-4

4

，
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2[(- 3m 2 )2-4× 3m2-4 4 ]

=

32-6m2

2

．
又∵BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=

|2-m|

2

．
∴|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
∴当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．

点评：本题考查了直线与椭圆相交的弦长问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、勾股定理等基础知识与基本方法，考查了推理能力、计算能力和解决问题的能力，综合性较强．