Question

设动点到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C。

（1）求点P的轨迹方程；

（2）若圆心在曲线C上的动圆M过点A（0，2），试证明圆M与x轴必相交，且截x轴所得的弦长为定值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线．

∵   ∴　∴　曲线方程是           ……………………5分

（Ⅱ）设圆心为，∵圆过，

 

 

∴圆的方程为　　

令得：

∵点在抛物线上，∴，

又∵

∴圆与轴必相交                                 ………………9分

设圆M与轴的两交点分别为E ，G

   ∵，　

∴

∴=4．即截得的弦长为定值．

【解析】略