Question

已知双曲线 2x²-2y²=1的两个焦点为F₁，F₂，P为动点，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）求cos∠F₁PF₂的最小值；
（Ⅲ）设点M（-2，0），过点N（-

2

7

，0）作直线l交轨迹E于A、B两点，判断∠AMB的大小是否为定值？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意双曲线方程可化为

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，|F₁F₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，知点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，由2a=4，2c=2得a=2，c=1，知所求动点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，则由m+n=4，|F₁F₂|=2可知在△F₁PF₂中cosθ=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

12-2mn

2mn

=

6

mn

-1，m＞0，n＞0，4=m+n≥2

mn

，故mn≤4，由此知∠F₁PF₂的最小值为

1

2

．
（Ⅲ）当l与x轴重合时，构不成角AMB，不合题意．当l⊥x轴时，直线l的方程为x=-

2

7

，代入

x2

4

+

y2

3

=1解得A．B的坐标分别为(-

2

7

，

12

7

)，(-

2

7

，-

12

7

)，而|MN|=

12

7

，故∠AMB=90°，猜测∠AMB=90°为定值，再由韦达定理进行证明．

解答：解：（Ⅰ）依题意双曲线方程可化为

x2

1 2

-

y2

1 2

=1，则|F₁F₂|=2，∴|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2
可知点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，其方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)
由2a=4，2c=2得a=2，c=1∴b²=4-1=3则所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
故动点P的轨迹E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；（3分）
（Ⅱ）设|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，则由m+n=4，|F₁F₂|=2可知
在△F₁PF₂中cosθ=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

12-2mn

2mn

=

6

mn

-1
又∵m＞0，n＞0，4=m+n≥2

mn

∴mn≤4，即

1

mn

≥

1

4

∴cosθ≥

6

4

-1=

1

2

当且仅当m=n=2时等号成立．故cos∠F₁PF₂的最小值为

1

2

（6分）
（Ⅲ）当l与x轴重合时，构不成角AMB，不合题意．
当l⊥x轴时，直线l的方程为x=-

2

7

，代入

x2

4

+

y2

3

=1解得A．B的坐标分别为(-

2

7

，

12

7

)，(-

2

7

，-

12

7

)，而|MN|=

12

7

，∴∠AMB=90°，
猜测∠AMB=90°为定值．（8分）
证明：设直线l的方程为my=x+

2

7

，由

x=my- 2 7 3x2+4y2=12

，
得(3m2+4)y2-

12

7

my-

576

49

=0
∴y1+y2=

12m

7(3m2+4)

，y1y2=-

576

49(3m2+4)

（10分）
∴

MA

•

MB

=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(my1+

12

7

)(my1+

12

7

)+y1y2=(m2+1)y1y2+

12

7

(y1+y2)+

144

49

=(m2+1)

-576

49(3m2+4)

+

12

7

m•

12m

7(3m2+4)

+

144

49

=

-144(4+3m2)

49(3m2+4)

+

144

49

=0
∴∠AMB=90°为定值．（AB与点M不重合）（14分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．