Question

 (本小题满分12分)已知双曲线2x²－2y²＝1的两个焦点为F₁，F₂，P为动点，若|PF₁|＋|PF₂|＝4.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)求cos∠F₁PF₂的最小值．

Answer 1

【解析】　(1)依题意双曲线方程可化为－＝1，

则|F₁F₂|＝2，

∴|PF₁|＋|PF₂|

＝4>|F₁F₂|＝2.

∴点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，

其方程可设为＋＝1

(a>b>0)．

由2a＝4,2c＝2，

得a＝2，c＝1，

∴b²＝4－1＝3.则所求椭圆方程为＋＝1，

故动点P的轨迹E的方程为＋＝1.

(2)设|PF₁|＝m>0，

|PF₂|＝n>0，∠F₁PF₂＝θ，

则由m＋n＝4，|F₁F₂|＝2，

可知在△F₁PF₂中，

cosθ＝