Question

已知圆O：(x+

3

)2+y2=16，点A(

3

，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交OQ于点M，设点M的轨迹为E．
（I）求轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点P（1，0）的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，△AOB（O是坐标原点）的面积S=

4

5

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2

3

，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出轨迹E的方程．
（2）记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设AB：x=my+1，由

x2+4y2=4 x=my+1

，得：（4+m²）y²+2my-3=0，由此能求出直线AB的方程．

解答：（1）解：（1）由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2

3

，
所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，…（2分）
即轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）解：记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意，直线AB的斜率不可能为0，
故可设AB：x=my+1，
由

x2+4y2=4 x=my+1

，消x得：（4+m²）y²+2my-3=0，
所以

y1+y2= -2m+ 4m2+12(4+m2) 2(4+m2) + -2m- 4m2+12(4+m2) 2(4+m2) = -2m 4+m2 y1•y2= -2m+ 4m2+12(4+m2) 2(4+m2) • -2m- 4m2+12(4+m2) 2(4+m2) =- 3 4+m2

…（7分）
S=

1

2

|OP||y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 m2+3

m2+4

．…（9分）
由S=

4

5

，解得m²=1，即m=±1．…（10分）
故直线AB的方程为x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0为所求．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法和直线方程的求法，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．