Question

已知圆O：x²+y²=4，动点P（t，0）（-2≤t≤2），曲线C：y=3|x-t|．曲线C与圆O相交于两个不同的点M，N
（1）若t=1，求线段MN的中点P的坐标；
（2）求证：线段MN的长度为定值；
（3）若t=

4

3

，m，n，s，p均为正整数．试问：曲线C上是否存在两点A（m，n），B（s，p）（11），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1）？若存在请求出所有的点A，B；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将曲线C的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得P的坐标；
（2）利用将曲线C的方程代入圆的方程，消去y得到的方程，结合根与系数的关系，利用两点间的距离公式即可求出线段MN的长度为定值；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在两点A（m，n），B（s，p）（11），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，再建立等式求出A，B的坐标，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜1＜x₂），P（x₀，y₀）
由

x2+y2=4 y=3|x-1|

⇒10x2-18x+5=0，
所以x0=

x1+x2

2

=

9

10

，y0=

y1+y2

2

=

3(x2-x1)

2

=

3 (x1+x2)2-4x1x2

2

=

31

5

所以p(

9

10

，

31

5

)---------------------------（6分）
（2）MN2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8-2x1x2-2y1y2，

x2+y2=4 y=3|x-t|

⇒10x2-18tx+9t2-4=0，
x1+x2=

9t

5

，x1

x

2

=

9t2-4

10

，
y1y2=9(t-x1)(x2-t)=9[-t2+t(x1+x2)-x1x2]=-

9t2

10

+

18

5

，
MN2=

8

5

，MN=

2 10

5

为定值．---------------------------------（4分）
（3）设p(x0，y0)，

x

2 0

+

y

2 0

=4，

(x0-m)2+(y0-n)2 (x0-s)2+(y0-t)2 =k(k＞1)⇒ 4+m2+n2-2mx0-2ny0=k2[4+s2+p2-2sx0-2py0]

?

2m=k22s 2n=k22p 4+m2+n2=k2(4+s2+p2)

消去m，n得s2+p2=

4

k2

＜4
所以s=p=1，k=

2

，此时m=n=2，又A（2，2），B（1，1）在曲线C上
所以仅有A（2，2），B（1，1）符合．----------------------------------------（6分）

点评：本小题主要考查中点坐标公式、两点间的距离公式极值、导数、直线与圆的位置关系等基本知识，考查方程思想、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．