题目内容

如图，F₁是双曲线 $数学公式$ 的左焦点，A是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P，使线段PF₁的中垂线过点A，则双曲线的离心率的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：设B是右准线与x轴的交点，先将几何条件“线段PF₁的中垂线过点A”，转化为几何条件“|AF₁|=|AP|”，再利用几何条件“|AP|≥|AB|”的不等关系|AF₁|≥|AB|，最后将不等关系翻译为离心率不等式即可解得离心率的取值范围
解答：设B是右准线与x轴的交点
∵线段PF₁的中垂线过点A，∴|AF₁|=|AP|≥|AB|
∵|AF₁|=c- $\text{[math]}$ ，|AB|= $\text{[math]}$
∴c- $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，即 c²≥3a²，e²≥3，e≥ $\text{[math]}$
∴双曲线的离心率的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，+∞）
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考察了双曲线的定义和几何性质，双曲线准线的意义和离心率的范围的求法，找到恰当的不等关系是解决本题的关键

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我们定义双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与直线y=±b的交点为“虚近点”，如图点P是双曲线C在第一象限的渐近点，直线y=b与双曲线C的左、右分支分别交于点A、B，F₁、F₂分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点．
（1）求证：PF₁⊥PF₂；
（2）求证：PF₁平分∠APO；
（3）你能否在未证明（1）下，直接证明（2）？请写下你的理由．

如图，P是双曲线

=1(a＞0，b＞0，xy≠0)上的动点，F₁、F₂是双曲线的左右焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且F₂M⊥MP．某同学用以下方法研究|OM|：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂N的中点，得|OM|=

|NF1|，…，|OM|=a．类似地：P是椭圆

=1(a＞b＞0，b2+c2=a2，xy≠0)上的动点，F₁、F₂是椭圆的左右焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且F₂M⊥MP，则|OM|的取值范围是

（2010•九江二模）如图，F₁是双曲线

=1(a＞0，b＞0)的左焦点，A是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P，使线段PF₁的中垂线过点A，则双曲线的离心率的取值范围是

如图，F₁是双曲线

的左焦点，A是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P，使线段PF₁的中垂线过点A，则双曲线的离心率的取值范围是．