Question

如图，F₁是双曲线的左焦点，A是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P，使线段PF₁的中垂线过点A，则双曲线的离心率的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：设B是右准线与x轴的交点，先将几何条件“线段PF₁的中垂线过点A”，转化为几何条件“|AF₁|=|AP|”，再利用几何条件“|AP|≥|AB|”的不等关系|AF₁|≥|AB|，最后将不等关系翻译为离心率不等式即可解得离心率的取值范围
解答：解：设B是右准线与x轴的交点
∵线段PF₁的中垂线过点A，∴|AF₁|=|AP|≥|AB|
∵|AF₁|=c-，|AB|=
∴c-≥，即 c²≥3a²，e²≥3，e≥
∴双曲线的离心率的取值范围是[，+∞）
故答案为
点评：本题考察了双曲线的定义和几何性质，双曲线准线的意义和离心率的范围的求法，找到恰当的不等关系是解决本题的关键