Question

（2010•九江二模）如图，F₁是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点，A是左准线与x轴的交点，若在右准线上存在一点P，使线段PF₁的中垂线过点A，则双曲线的离心率的取值范围是

[

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：设B是右准线与x轴的交点，先将几何条件“线段PF₁的中垂线过点A”，转化为几何条件“|AF₁|=|AP|”，再利用几何条件“|AP|≥|AB|”的不等关系|AF₁|≥|AB|，最后将不等关系翻译为离心率不等式即可解得离心率的取值范围

解答：解：设B是右准线与x轴的交点
∵线段PF₁的中垂线过点A，∴|AF₁|=|AP|≥|AB|
∵|AF₁|=c-

a2

c

，|AB|=

2a2

c

∴c-

a2

c

≥

2a2

c

，即 c²≥3a²，e²≥3，e≥

3

∴双曲线的离心率的取值范围是[

3

，+∞）
故答案为[

3

，+∞)

点评：本题考察了双曲线的定义和几何性质，双曲线准线的意义和离心率的范围的求法，找到恰当的不等关系是解决本题的关键