题目内容

数列an满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，数列an的前项n积为
n
，则
2010
（　　）
A、-
1
2
B、-1
C、
1
2
D、1
分析：先由a1=2，an+1=1-
1
an
，求出前四项，可以得出数列是周期为3的循环数列，即可求出其前三项的积，即可求出结论．
解答：解：因为a1=2，an+1=1-
1
an
，
所以：a2=
1
2
，a3=-1，a4=2．
即数列是周期为3的循环数列．
所以a1•a2•a3=-1．又2010÷3=670
故
2010
=（a1•a2•a3）670=（-1）670=1．
故选  D．
点评：本题主要考查数列递推关系式的应用，作这一类型题目的关键是由数列递推关系式求出前几项进而求出数列各项的规律．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，记数列{an}的前n项之积为Πn，则Π2013的为（　　）
已知各项均为正数的数列{an}满足：
a1+2a2+3a3+…+nan
n
=
(an+1)an
3
(n∈N*)．
（1）求an的通项公式；
（2）当n≥2时，求证：
1
lna1
+
1
lna2
+…+
1
lnan-1
≤
ln(a1×a2×…×an-1)
lna1×lnan-1
．
设数列{an}满足：a1=1，an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*)．令bn=
1+24an
．
（1）求证数列{bn-3}是等比数列并求数列{bn}的通项公式；
（2）已知f（n）=6an+1-3an，求证：f(1)•f(2)•…•f(n)＞
1
2
．
（2012•蓝山县模拟）设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）上单调递增，若对任意x，y∈（0，+∞）都有：f（xy）=f（x）+f（y）成立，数列{an}满足：a1=f（1）+1，f（
1
2an+1
-
1
2an
）+f（
1
2an+1
+
1
an
）=0．设Sn=a12a22+a22a32+a32a42+…+an-12an2+an2an+12．
（1）求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；
（2）设函数g（x）对任意x、y都有：g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，若g（1）=1，正项数列{bn}满足：bn2=g（
1
2n
），Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小．
已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{an}满足：a1=f（0），f(an+1)=
1f(-2-an)
（n∈N*），则a2011的值为
4021
4021
．

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