Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{a_n}满足：a₁=f（0），f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），则a₂₀₁₁的值为

4021

．

Answer 1

分析：先通过等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，得出当且仅当x=0时有f（0）=1，由已知，由f(an+1)=

1

f(-2-an)

，得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1=f（0）所以a_n+1-2-a_n=0，即a_n+1=2+a_n，判断出数列{a_n}是等差数列，利用通项公式求解即可．

解答：解：在f（x）f（y）=f（x+y）中取x=-1，y=0，得出f（-1）f（0）=f（-1），当x＜0时，f（x）＞1，所以f（0）=1．
当x＞0时，f（x）f（-x）=f（0）=1，f（x）=

1

f(-x)

∈（0，1）．
又a₁=f（0）=1，
由f(an+1)=

1

f(-2-an)

，得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1=f（0）所以a_n+1-2-a_n=0，即a_n+1=2+a_n
所以数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1，
所以a₂₀₁₁=4021．
故答案为：4021．

点评：本题是函数与数列的综合，考查赋值法、转化构造法、用到了等差数列的判定、通项公式求解及应用．