Question

已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x²+（y-3）²=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N．
（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（2）探索是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直线直线m方程得，从而得到m的垂线l的斜率k_l=3．利用直线方程的点斜式可得l的方程为y=3（x+1），而圆心C（0，3）适合直线l的方程，由此可得当l⊥m时，l必过圆心C．
（2）根据CM⊥MN，结合向量数量积的运算性质得．然后分l⊥x轴时和l与x轴不垂直两种情况加以讨论，分别求出向量的坐标，计算并化简可得==-5，即的值与直线l的倾斜角无关．
解答：解：（1）∵直线m方程为x+3y+6=0，∴直线m的斜率
又∵l⊥m，且，∴直线l的斜率k_l=3．
故直线l的方程为y=3（x+1），即3x-y+3=0（5分）
∵圆心C坐标（0，3）满足直线l的方程，
∴当l⊥m时，l必过圆心C．（7分）
（2）∵CM⊥MN，可得
∴=（9分）
①当l⊥x轴时，易得，则（10分）
又∵，∴（12分）
②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），则
由，解出，可得=（14分）
∴．
综上所述，得=-5，即与直线l的倾斜角无关．（16分）
点评：本题在坐标系中讨论直线与圆的位置关系，并求向量数量积．着重考查了平面向量数量积的运算公式、直线的基本量与基本形式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．