题目内容
已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N，则下面运算结果为定值的有（ ）①
| AP |
| AQ |
| AM |
| AC |
③
| AC |
| AN |
| AM |
| AN |
分析：根据已知条件，我们可以求出两条直线的交点N的坐标（含参数k），然后根据向量数量积公式，利用切割线定理判断
•
为定值，即可求出
•
，
•
，
•
的值，进而得到结论
| AP |
| AQ |
| AM |
| AC |
| AC |
| AN |
| AM |
| AN |
解答：解：对于①，由题意
•
=|
|•|
|，过A作AT与圆相切，切点为T，根据切割线定理可知AT2=|
|•|
|=定值．①正确．
对于②，
•
=
|•|
|cos∠CAM=
2不是定值，②不正确；
对于③，对于④，因为CM⊥MN，
∴
•
=(
+
)•
=
•
+
•
=
•
，
当直线l与x轴垂直时，易得N（-1，-
），
则
=（0，-
），又
=（1，3），
∴
•
=
•
=-5，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（
，
），
则
=（
，
），
∴
•
=
•
=
+
=-5，
综上，
•
与直线l的斜率无关，且
•
=-5．③④正确．
正确的个数为3个．
故选C．
解：对于①，由题意| AP |
| AQ |
| AP |
| AQ |
| AP |
| AQ |
对于②，
| AM |
| AC |
| |AM |
| AC |
| AM |
对于③，对于④，因为CM⊥MN，
∴
| AM |
| AN |
| AC |
| CM |
| AN |
| AC |
| AN |
| CM |
| AN |
| AC |
| AN |
当直线l与x轴垂直时，易得N（-1，-
| 5 |
| 3 |
则
| AN |
| 5 |
| 3 |
| AC |
∴
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（
| -3k-6 |
| 1+3k |
| -5k |
| 1+3k |
则
| AN |
| -5 |
| 1+3k |
| -5k |
| 1+3k |
∴
| AM |
| AN |
| AC |
| AN |
| -5 |
| 1+3k |
| -15k |
| 1+3k |
综上，
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
正确的个数为3个．
故选C．
点评：此题考查向量的数量积的应用，切割线定理的应用，学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．
练习册系列答案
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已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N．
与圆C：
相交于P、Q两点，M是PQ的中点，
与直线m：
相交于N。
时，求直线
的方程；
是否与直线
的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。
已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
时，求直线l的方程；
是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．