Question

【题目】如图，正方体的棱长为分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点，设.给出以下四个命题：

①平面与平面所成角的最大值为45°；

②四边形的面积的最小值为；

③四棱锥的体积为；

④点到平面的距离的最大值为.

其中命题正确的序号为（ ）

A.②③④B.②③C.①②④D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式,计算可得所求最大值,可判断①;由四边形为菱形,计算面积,考虑的最小值,可判断②;由棱锥的等体积法,计算可判断③;由等体积法和函数的性质可判断④.

对于①,由面面平行的性质定理可得,,

可得四边形为平行四边形,

又直角梯形和直角梯形全等,可得,

即有四边形为菱形,且,

平面在底面上的射影为四边形,

设平面与平面所成角为,

由面积射影公式可得,

由,可得,

可得平面与平面所成角的最大值不为,故①错误;

对于②,由,可得菱形的面积的最小值为,故②正确;

对于③,因为四棱锥的体积为,故③正确;

对于④,,,

设到平面的距离为,可得,

所以(其中,

当即时,取得最大值,故④正确.

故选:C.