Question

【题目】设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N* ， an ， bn ， an+1成等差数列，bn ， an+1 ， bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3．
（Ⅰ）证明数列{ }是等差数列；
（Ⅱ）求数列{ }前n项的和．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵对任意n∈N* ， an ， bn ， an+1成等差数列，bn ， an+1 ， bn+1成等比数列， ∴2bn=an+an+1 ， =bnbn+1 ， an＞0，
∴an+1= ，
∴2bn= + ，
∴ = + ．
∴数列{ }是等差数列．
（II）解：a1=1，b1=2，a2=3．由（I）可得：32=2b2 ， 解得：b2= ．
∴公差d= = = ．
= + （n﹣1）= × ．
∴bn= ．
∴ =bnbn+1= ，an+1＞0．
∴an+1= ，
∴n≥2时，an= ．n=1时也成立．
∴an= ．n∈N* ．
∴ = ．
∴数列{ }前n项的和= =2 =
【解析】（I）对任意n∈N* ， an ， bn ， an+1成等差数列，bn ， an+1 ， bn+1成等比数列，可得2bn=an+an+1 ， =bnbn+1 ， an＞0，an+1= ，代入即可证明．（II）a1=1，b1=2，a2=3．由（I）可得：32=2b2 ， 解得：b2 ． 公差= ．可得 = × ．bn代入 =bnbn+1 ， an+1＞0．可得an+1= ，可得 = ．即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．