Question

1．已知函数f（x）=|x-3|-|x+1|，命题p：关于x的不等式f（x）＞a对x∈R恒成立；命题q：函数y=x²-ax+4在区间[5，+∞）上单调递增．
（1）解不等式f（x）≤0；
（2）若命题“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式等价为|x-3|≤|x+1|，两边平方得（x-3）²≤（x+1）²，解出不等式即可；
（2）运用二次函数的性质和分段函数的最值求出相应a的范围，再取并集即可．

解答 解：（1）由f（x）=|x-3|-|x+1|≤0得，
|x-3|≤|x+1|，两边平方得，
（x-3）²≤（x+1）²，解得x≥1，
所以，原不等式的解集为[1，+∞）；
（2）若命题p为真，则f（x）_min＞a，
而f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4，x≥3}\\{2-2x，-1≤x＜3}\\{4，x＜-1}\end{array}\right.$，所以f（x）_min=-4，
因此，a＜-4；--------------①
若命题q为真，则二次函数图象的对称轴x=$\frac{a}{2}$≤5，
解得，a≤10，--------------②
根据题意，命题“p或q”为真，则只需取①②的并集，
即a∈（-∞，10]．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，二次函数的图象和性质，以及复合命题真假的判断，属于中档题．