题目内容

9.若直线ax-by+1=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是8.

分析 由圆的方程x2+y2+2x-4y+1=0⇒圆心O为(-1,2),半径r=2;又直线ax-by+1=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4⇒(-1,2)为直线ax-by+1=0(a>0,b>0)上的点,于是-a-2b+1=0⇒a+2b=1,代入$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$,应用基本不等式即可.

解答 解:由x2+y2+2x-4y+1=0得:(x+1)2+(y-2)2=4,
∴该圆的圆心为O(-1,2),半径r=2;
又直线ax-by+1=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,
∴直线ax-by+1=0(a>0,b>0)经过圆心O(-1,2),
∴-a-2b+1=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=($\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$)•(a+2b)=4+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$≥4+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$=8(当且仅当a=$\frac{1}{2}$,b=$\frac{1}{4}$时取“=”).
故答案为:8.

点评 本题考查基本不等式,难点在于对“直线ax-by+1=0(a>0,b>0)经过圆心O(-1,2)”的理解与应用,属于中档题.

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