题目内容
9.若直线ax-by+1=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是8.分析 由圆的方程x2+y2+2x-4y+1=0⇒圆心O为(-1,2),半径r=2;又直线ax-by+1=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4⇒(-1,2)为直线ax-by+1=0(a>0,b>0)上的点,于是-a-2b+1=0⇒a+2b=1,代入$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$,应用基本不等式即可.
解答 解:由x2+y2+2x-4y+1=0得:(x+1)2+(y-2)2=4,
∴该圆的圆心为O(-1,2),半径r=2;
又直线ax-by+1=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,
∴直线ax-by+1=0(a>0,b>0)经过圆心O(-1,2),
∴-a-2b+1=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=($\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$)•(a+2b)=4+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$≥4+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$=8(当且仅当a=$\frac{1}{2}$,b=$\frac{1}{4}$时取“=”).
故答案为:8.
点评 本题考查基本不等式,难点在于对“直线ax-by+1=0(a>0,b>0)经过圆心O(-1,2)”的理解与应用,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
20.福州为了迎接青运会,计划从2011年到2015年,每年年初投入资金用于更新和改进体育场所与设施,若2011年年初投入a万元,以后每年年初投入的资金比上一年递增10%,则投入的总资金约为(参考数据 1.14≈1.46,1.15≈1.61)( )
A. | 4.6a万元 | B. | 6.1a万元 | C. | 14.6a万元 | D. | 16.1a万元 |
17.sin 20°cos10°+cos20°sin170°=( )
A. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |