题目内容

若a＞0，b＞0，且a+b=1，则 $数学公式$ 的最大值是________．

5 $\text{[math]}$
分析：根据a＞0，b＞0，且a+b=1，可得（a+1）+（b+1）=3，（a+1＞1，b+1＞1），可令 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cosθ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinθ，利用三角函数中的辅助角公式即可解决问题．
解答：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴（a+1）+（b+1）=3，（a+1＞1，b+1＞1），
令 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cosθ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinθ，
则 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ cosθ+4 $\text{[math]}$ sinθ= $\text{[math]}$ （3cosθ+4sinθ）=5 $\text{[math]}$ sin（θ+φ）（其中tanφ= $\text{[math]}$ ）．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查基本不等式，难点在于由“a+b=1，可得（a+1）+（b+1）=3，即 $\text{[math]}$ ”从而进行三角换元，考查学生的转化思想，属于难题．