Question

若a＞0，b＞0，且a+b=1．求证：
（Ⅰ）ab≤

1

4

；     
（Ⅱ）

4

3

≤

1

a+1

+

1

b+1

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用基本不等式，即可得到结论；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明2＜（a+1）（b+1）≤

9

4

，即可证明结论．

解答：证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴a+b=1≥2

ab

∴ab≤

1

4

；     
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴（a+1）（b+1）=ab+a+b+1=ab+2
∵0＜ab≤

1

4

∴2＜（a+1）（b+1）≤

9

4

∴

4

9

≤

1

(a+1)(b+1)

＜

1

2

∴

4

3

≤

3

(a+1)(b+1)

＜

3

2

∴

4

3

≤

(a+1)+(b+1)

(a+1)(b+1)

＜

3

2

∴

4

3

≤

1

a+1

+

1

b+1

＜

3

2

．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．