Question

（本小题满分13分）

       设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂。点满足

   （Ⅰ）求椭圆的离心率；

   （Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程。

Answer 1

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。

   （Ⅰ）解：设，因为，

       所以，整理得（舍）

       或

   （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF₂的方程为

       A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得。解得，得方程组的解

       不妨设，，

       所以

       于是

       圆心到直线PF₂的距离

       因为，所以

       整理得，得（舍），或

       所以椭圆方程为