Question

已知z为虚数，为实数．
（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）求|z-4|的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），根据z-2为纯虚数求得x的值，再由为实数求出y的值，即得虚数z．
（2）由为实数且y≠0 可得（x-2）²+y²=9，由此求得x的范围，根据复数的模的定义把要求的式子可化为
，从而得到的范围．
解答：解：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi，
由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分）
则 ，…（4分）
得，y=±3，…（6分）   所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分）
（2）∵，
∴，∵y≠0，∴（x-2）²+y²=9，…（10分）
由（x-2）²＜9得x∈（-1，5），…（12分）
∴=．…（15分）
点评：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数求模，属于基础题．