Question

（1）已知z为虚数，z+

9

z-2

为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）已知w=z+i（z∈C），且

z-2

z+2

为纯虚数，求M=|w+1|²+|w-1|²的最大值及M取最大值时w的值．

Answer 1

分析：（1）由已知，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）．根据z+

9

z-2

为实数求出虚部为0，解出参数b，从而求出z
（2）设z=a+bi（a，b∈R，）根据

z-2

z+2

为纯虚数，得出

(a2+b2-4) (a+2)2+b2  =0 4b (a+2)2+b2 ≠0

，即a²+b²=4，且b≠0．
M=|w+1|²+|w-1|²=2（a²+b²）+4b+4=12+4b，在上式条件下求出最值及w．

解答：解：（1）z为虚数且z-2为纯虚数，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）
又z+

9

z-2

=2+bi+

9

bi

=2+bi-

9

b

i=2+（b-

9

b

）i为实数，
所以b-

9

b

=0，b=±3
所以z=2±3i．
（2）设z=a+bi（a，b∈R，）
则

z-2

z+2

=

(a-2)+bi

(a+2)+bi

=

(a2+b2-4)+4bi

(a+2)2+b2

由于

z-2

z+2

为纯虚数，所以

(a2+b2-4) (a+2)2+b2  =0 4b (a+2)2+b2 ≠0

即a²+b²=4，且b≠0．①
∴M=|w+1|²+|w-1|²=（a+1）²+（b+1）²+（a-1）²+（b+1）²
=2（a²+b²）+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2，2]且b≠0，所以b的最大值为2，从而M的最大值为20．
此时a=0，w=z+i=2i+i=3i．

点评：本题考查复数代数形式的基本运算，复数的分类、模的计算，考查转化、计算能力．