Question

已知台风中心B位于城市A正东方向200

6

km处，正以每小时40km的速度向西北方向移动，距离台风中心400km范围内将会受到其影响．如果台风风速不变，那么该城市从何时起要遭受台风影响？这种影响将持续多长时间？

Answer 1

分析：解法一：在△ABC中由余弦定理，计算BC₁，BC₂，即可得出结论；
解法二：在△ABC中由正弦定理，计算∠AC₁B=120°，∠AC₂B=60°，再求出BC₁，BC₂，即可得出结论．

解答：解法一：设台风沿直线BM方向运动，城市A首次和最后受台风影响时台风分别位于C₁和C₂处，则
在△ABC中由余弦定理有：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos45°，…（6分）
可得：BC1=200(

3

-1)km，BC2=200(

3

+1)km…（8分）
故城市A首次受台风影响时t1=

BC1

40

=5(

3

-1)小时，…（10分）
这种影响将持续t=

C1C2

40

=10小时．…（12分）
解法二：设台风沿直线BM方向运动，城市A首次和最后受台风影响时台风分别位于C₁和C₂处，则
在△ABC中由正弦定理有：

AB

sin∠BC A

=

AC

sin45°

，∴sin∠AC1B=

3

2

∴∠AC₁B=120°，∴∠AC₂B=60°，…（4分）
则在△ABC₁中由正弦定理有：

BC1

sin15°

=

AC1

sin45°

，可得：BC1=200(

3

-1)km，…（6分）
在△ABC₂中由正弦定理有：

BC2

sin75°

=

AC2

sin45°

，可得：BC2=200(

3

+1)km；…（8分）
故城市A首次受台风影响时t1=

BC1

40

=5(

3

-1)小时，…（10分）
这种影响将持续t=

C1C2

40

=10小时．…（12分）

点评：本题主要考查余弦定理、正弦定理在实际中的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．