Question

（本小题满分13分）

如图，已知椭圆:的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.

（ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；

（ⅱ）求△面积的取值范围.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距=1.因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

所以，解得

 

所以椭圆的标准方程为.  …4分                

（Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得：.记，，

，

.  ……………5分

由A关于轴的对称点为，得，

根据题设条件设定点为（，0），

得，即.

所以

即定点（1 ， 0）.                 ……………………………8分

（ii）由（i）中判别式，解得.   可知直线过定点 (1,0).

所以    　　　………10分

得,  令

记，得，当时，.

在上为增函数. 所以 ，

得.故△OA₁B的面积取值范围是.  ……………13分

 

【解析】略