题目内容

如下图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2,|AC|=,一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程;

(2)设点K是曲线E上的一动点，求线段KA中点的轨迹方程;

(3)若F(1,)是曲线E上的一点，设M、N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，请说明理由.

解：(1)如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点建立直角坐标系.

    设P(x,y),

∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|

=+=4为定值，

∴动点P的轨迹为椭圆，且a=2,c=1,b=.

∴椭圆E的方程为+=1.

(2)设椭圆E上的动点K(x1,y1),线段KA的中点为Q(x,y)、A(-1,0),

    则x=,y=，即x1=2x+1,y1=2y.

    因此=1,即(x+)2+=1.

(3)∵M、N是椭圆上不同的两点，且直线FM、FN的倾斜角互补，则直线FM、FN的斜率存在且不为零.

    设直线FM的方程为y=k(x-1)+,

    由消去y,整理得

(4k2+3)x2-4k(2k-3)x+4k2-12k-3=0.                                          (*)

    设M(xM,yM)、N(xN,yN),又F(1,)是直线FM与椭圆的交点,∴方程(*)的两个根为1、xM.

    由根与系数的关系得xM=.                               ①

∵直线FM、FN的倾斜角互补,∴直线FN的斜率为-k,以-k代替①中的k得

xN=.                                                              ②

    又∵yM=k(xM-1)+,

yN=-k(xN-1)+,

∴yM-yN=k(xM+xN-2)=k(-2)=.而xM-xN=.

∴yM-yN=(xM-xN).

∴直线MN的斜率是定值，其定值为.


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