Question

已知向量x=(1，t²-3),y=(-k，t)(其中实数k和t不同时为零)，当|t|≤2时,有x⊥y,当|t|＞2时,有x∥y.

(1)求函数关系式k=f(t);

(2)求函数f(t)的单调递减区间;

(3)求函数f(t)的最大值和最小值.

Answer 1

解:(1)当|t|≤2时,由x⊥y得x·y=-k+(t²-3)t=0,得k=f(t)=t³-3t(|t|≤2).

当|t|＞2时,由x∥y得k=.所以k=f(t)=

(2)当|t|≤2时,f′(t)=3t²-3,由f′(t)＜0,得3t²-3＜0,解得-1＜t＜1.

当|t|＞2时,f′(t)==＞0.

∴函数f(t)的单调递减区间是(-1,1).

(3)当|t|≤2时,由f′(t)=3t²-3=0得t=1或t=-1.∵1＜|t|≤2时,f′(t)＞0,

∴f(t)_极大值=f(-1)=2，f(t)_极小值=f(1)=-2.又f(2)=8-6=2,f(-2)=-8+6=-2,当t＞2时,f(t)=＜0.

又由f′(t)＞0知f(t)单调递增,∴f(t)＞f(2)=-2,即当t＞2时,-2＜f(t)＜0.

同理可求,当t＜-2时,有0＜f(t)＜2,综合上述得,当t=-1或t=2时,f(t)取最大值2;

当t=1或t=-2时,f(t)取最小值-2.