Question

（08年杭州市质检一）(14分) 已知向量x = (1，t² 3 ) ,  y = (k ，t) (其中实数k和t不同时为零)，当| t | £ 2时, 有 x⊥y ,当| t | > 2时,有x∥y.

(1) 求函数关系式k = f (t ) ;

(2) 求函数f (t )的单调递减区间;

(3) 求函数f (t )的最大值和最小值.

Answer 1

解析： (1) 当| t | £ 2时,由x⊥y得：x?y = k + (t² 3 ) t = 0,

得k = f (t ) = t³ 3t   (  | t | £ 2  )

当| t | > 2时, 由x∥y得： k =  

所以k = f (t ) =                         5分

(2) 当| t | £ 2时, f `(t ) =3 t<sup>2</sup> 3 ,  由f `(t ) < 0 , 得3 t² 3 < 0

解得 1 < t < 1 ,

当| t | > 2时, f `(t ) =  = > 0

∴函数f (t )的单调递减区间是(1, 1).                               4分

(3) 当| t | £ 2时, 由f `(t ) =3 t² 3 =0得 t = 1或t = 1

∵  1 <| t |  £ 2时,  f `(t ) > 0

∴ f (t)_极大值= f (1) = 2，      f (t)_极小值= f (1) = 2

     又 f ( 2 ) = 8 6 = 2,        f (2) = 8 + 6 = 2

     当 t > 2 时, f (t ) =< 0 ,

又由f `(t ) > 0知f (t )单调递增, ∴ f (t ) > f (2) = 2,

即当 t > 2 时, 2 < f (t ) < 0,

同理可求, 当t < 2时,  有0 < f (t ) < 2,

综合上述得, 当t = 1或t = 2时, f ( t )取最大值2

当t = 1或t = 2时, f ( t )取最小值2                    5分