Question

已知：在空间四边形DABC中，DA⊥BC，DB⊥AC．用两种方法证明：DC⊥AB．

Answer 1

证明：法一：=
=
=
故DC和AB互相垂直．
法二：证明：取AB中点E，连接DE、CE，∵BC=AC，E为AB中点，∴CE⊥AB，
同理DE⊥AB．
∵CE∩DE=E，
∴AB⊥平面CDE，
∴AB⊥CD．
分析：法一：将 用，来表示； 用 ， 表示；利用向量的运算律及向量垂直的数量积为0求出 ；判断出垂直．
法二：取AB中点E，由等腰三角形的性质可得CE⊥AB，且DE⊥AB，再由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE，从而得到AB⊥CD．
点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律利用想向量垂直判断线垂直．本题还考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，取取AB中点E，是解题的突破口．