Question

21.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

（1）求向量的坐标；

（2）求圆x²－6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；

（3）是否存在实数a,使抛物线y=ax²－1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.

Answer 1

21.（1）设=（u,v）,则由，即,

得,或.

因为=+=（u+4,v－3）,

所以v－3>0,得v=8,故=（6,8）.

 

（2）由=（10,5），得B（10,5），于是直线OB方程为：y=x.

由条件可知圆的标准方程为：（x－3）²+（y+1）²=10,得圆心（3,－1），半径为.

设圆心（3,－1）关于直线OB的对称点为（x, y）,则

,得,

故所求圆的方程为（x－1）²+（y－3）²=10.

 

（3）设P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

,得.

即x₁、x₂为方程x²+x+=0的两个相异实根，于是由Δ=－4·>0,得a>.

故当a>时，抛物线y=ax²－1上总有关于直线OB对称的两点.