Question

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点．已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零．
（1）求向量

AB

的坐标；
（2）求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出要求的向量的坐标，根据所给的模长的关系和直角三角形两条直角边垂直的关系，写出关于向量坐标的关系式，解方程，舍去不合题意的结果，得到向量的坐标．
（2）要求圆关于直线的对称圆，只要求出圆心关于直线的对称点即可，本题需要先根据向量的坐标求出点B的坐标，从而求出直线的方程，通过计算得到结果．
（3）设出抛物线上关于直线的对称的两个点，两个点的中点在直线上且两点连线与已知直线垂直，写出所设的点的关系，构造一元二次方程，根据方程有解用判别式得到结果．

解答：解：（1）设

AB

={u，v}，
则由|

AB

|=2|

OA

|，

AB

•

OA

=0
即

u2+v2=100 4u-3v=0

得

u=6 v=8

，或

u=-6 v=-8

．
∵

OB

=

OA

+

AB

={u+4，v-3}，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴

AB

={6，8}；
（2）由

OB

={10，5}，得B（10，5），
于是直线OB方程：y=

1

2

x．
由条件可知圆的标准方程为：（x-3）²+y（y+1）²=10，
得圆心（3，-1），半径为

10

．
设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y）
则

x+3 2 -2• y-1 2 =0 y+1 x-3 =-2

，
得

x=1 y=3

，
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=10；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称两点，
则

x1+x2 2 -2 y1+y2 2 =0 y1-y2 x1-x2 =-2

，
得

x1+x2=- 2 a x1x2= 5-2a 2a2

即x₁，x₂为方程x2+

2

a

x+

5-2a

2a2

=0的两个相异实根，
于是由△=

4

a2

-4•

5-2a

2a2

＞0，
得a＞

3

2

．
∴当a＞

3

2

时，抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两点．

点评：本题是近几年高考常考的问题，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的