Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，对任意的，都有成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）具体见解析；（2）

【解析】

（1）先求出函数的导函数，然后通过分类讨论解不等式即可求解；

（2）可转化为当时，函数的最小值大于的最大值问题进行处理．

解：（1）由题意知，函数的定义域为，

则

①当时，，令，解得．

当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增．

②当时，令，解得．

当时，，则或时，，时，，

∴在和上单调递减，在上单调递增．

当时，，∴在上单调递减．

当时，，则或时，时，，

∴在和上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）对任意的，都有成立，

等价于时，．

由（1）得，当时，在上单调递增，

∴在上的最小值．

∵，

∴，

令，

则，

∴当时，单调递减，

∴当时，，

∴当时，单调递增，

则．

∴，

∴，

∴．

故的取值范围为．