题目内容
【题目】已知点
为椭圆
上一点，其中
为椭圆
的离心率，椭圆的长轴长是短轴长的两倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知
，
（均不与点
重合）是该椭圆上关于原点对称的两点，当
的面积最大时，求直线
的方程．
【答案】（1）
（2）
．
【解析】
（1）将
代入
，得
，椭圆
的长轴长是短轴长的两倍，可得
，联立方程，即可求得答案；
（2）当直线
的斜率不存在时，直线的方程为
，
的面积为1. 当直线的斜率存在时，设其方程为
，代入，求得
，根据点到直线距离公式求得点
到直线的距离
，结合均值不等式，即可求得答案.
（1）将代入，
得
，即
，
从而得.
又椭圆的长轴长是短轴长的两倍，
，
由
，得
，
故椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
易得的面积为1.
②当直线的斜率存在时，设其方程为，代入
并化简得
，得
，
.
由（1）易得
，所以
，
点到直线的距离
.
.
记
，则有
，
当且仅当
，即
时取等号.
故当的面积最大时，直线的方程为.
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【题目】某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果，选50名患者服药一段时间后，记录了这些患者的生理指标
和
的数据，并统计得到如下的
列联表（不完整）：
|
| 合计 | |
| 12 | 36 | |
| 7 | ||
合计 |
其中在生理指标
的人中，设
组为生理指标
的人，
组为生理指标
的人，他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，25
（Ⅰ）填写上表，并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标
和有关系；
（Ⅱ）从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
附：
，其中
．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
