题目内容

已知函数f（x）=x（x2-a），（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若过点P（1，-2）可以向y=f（x）作两条切线，求a的取值范围．
（1）由f（x）=x3-ax求导数得到f'（x）=3x2-a．
（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在R上单增．
（ii）当a＞0时，f′(x)=3(x-
a
3
)(x+
a
3
)．
则f(x)在[
a
3
，+∞)和(-∞，-
a
3
]上单调递增；
在[-
a
3
，+
a
3
]上单调递减．…（5分）
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x0，y0），
则y-y0=（3x02-a）（x-x0），即y=（3x02-a）x-2x03
则y=（3x02-a）x-2x03过P（1，-2），
∴-2=3x02-a-2x03，即2x03-3x02+a-2=0．
由题意知关于x0的方程
2x03-3x02+a-2=0有两个不等的实根．
令g（x）=2x3-3x2+a-2，
则g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）．
于是g（x）极小=g（1）=a-3，
g（x）极大=g（0）=a-2．
方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根．
∴
g(1)=a-3=0
g(0)=a-2＞0
或
g(1)＜0
g(0)=0.

∴a=3或a=2
∴所求a的取值范围为[2，3]．…（13分）
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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