Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n＞0，a_n+1是函数f（x）=x³+的极小值点．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出通项公式a_n；
（2）设b_n=na_n²，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，确定函数的极值点，即可得到数列{a_n}为等比数列，从而求出通项公式a_n；
（2）利用错位相减法，求出数列{b_n}的前n项和为S_n，即可证明结论．
解答：证明：（1）求导函数可得=
∵a_n＞0，∴f（x）在（-∞，-1）、（，+∞）上递增，在（-1，）上递减
∴f（x）的极小值点为，∴
∵a₁=1，∴数列{a_n}为首项为1，公比为的等比数列，
∴通项公式a_n=；
（2）b_n=na_n²=
∴S_n=①
∴S_n=②
①-②：S_n==
∴S_n=＜．
点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．