Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

2n

an

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用题设条件，求得

an

an+1

=

n+1

3n

(n≥2)，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由an=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

，知

2n

an

=

2，n=1 2n•( 2 3 )n-2，n≥2

，再利用错位相减法能求出结果

解答：解：（1）由

a1+2a2+3a3+…+nan= n+1 2 an+1 a1+2a2+3a3+…+(n-1)an= n 2 an

相减得

an

an+1

=

n+1

3n

(n≥2)，
又因为a₁=a₂=1，（n+1）a_n+1=3na_n（n≥2），
所以{na_n}是以2a₂=2为首项，公比为3的等比数列，
则nan=2×3n-2(n≥2)，
又a₁=1不满足上式，
故an=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

．
（2）∵an=

1，n=1 2×3n-2 n ，n≥2

，
∴

2n

an

=

2，n=1 2n•( 2 3 )n-2，n≥2

，
∴Tn=2+4×1+6×

2

3

+8×(

2

3

)2+…+2n•(

2

3

)n-2，n≥2，①
∴

2

3

Tn=

4

3

+4×

2

3

+6×(

2

3

)2+8×(

2

3

)3+…+2n•(

2

3

)n-1，②
①-②，得

1

3

Tn=

2

3

+4+2×

2

3

+2×(

2

3

)2+…+2×(

2

3

)n-2-2n•(

2

3

)n-1
=

14

3

+2[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-2]-2n•(

2

3

)n-1
=

14

3

+2×

2 3 [1-( 2 3 )n-2]

1- 2 3

-2n•(

2

3

)n-1
=

14

3

+4-4×(

2

3

)n-2-2n•(

2

3

)n-1，
∴T_n=26-（27+9n）(

2

3

)n，
经检验，n=1，也满足上式．
故Tn=26-(27+9n)(

2

3

)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和错位相减法的合理运用．