Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中各棱长都有为a，底面ABCD是正方形，顶点A₁在平面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心O．
（1）求证：A₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）求平行六面体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得BD⊥AC，BD⊥A₁O，A₁C⊥C₁C，从而BD⊥A₁C，由此能证明A₁C⊥平面BDD₁B₁．
（2）由已知得A₁O⊥AC，A₁O⊥BD，从而A₁O⊥平面ABCD，且A₁O=

2

a，S_{正方形ABCD}=a²．由此能求出平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

解答： （1）证明：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中各棱长都有为a，
底面ABCD是正方形，
顶点A₁在平面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心O，
∴BD⊥AC，且BD=AC=A₁C₁=

2

a，O是AC中点，
A₁C=A₁A=CC₁=a，
∴BD⊥A₁O，A₁C⊥C₁C，
∴BD⊥平面AA₁C，∴BD⊥A₁C，
又A₁C∩C₁C=C，∴A₁C⊥平面BDD₁B₁．
（2）解：由（1）知A₁O⊥AC，同理A₁O⊥BD，
∴A₁O⊥平面ABCD，且A₁O=

2

a，
S_{正方形ABCD}=a²．
∴平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积：
V=S_{正方形ABCD}•A₁O=a²•

2

a=

2

a3．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平行六面体的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．